Elementarisierung von Benkos Lösung des 3. Hilbertschen Problems

Abstract

Zwei Polygone, die sich in Polygone zerlegen lassen, die paarweise kongruent sind, haben wegen der Additivität des Flächeninhalts offensichtlich den gleichen Inhalt. Dass umgekehrt inhaltsgleiche Polygone auch zerlegungsgleich sind, lässt sich mit elementaren Mitteln beweisen (W. Bolyai 1832, P. Gerwien 1833). Ob im Raum aus der Volumengleichheit von Polyedern ebenfalls die Zerlegungsgleichheit folgt, war lange offen und wurde im Jahr 1900 von D. Hilbert als 3. Problem in seine berühmte Liste von 23 Problemen aufgenommen. M. Dehn hat bereits ein Jahr später mit Mitteln der Höheren Mathematik bewiesen, dass die Begriffe volumengleich und zerlegungsgleich bei Polyedern nicht aquivalent sind. Im vorliegenden Beitrag wird im Anschluss an Benko 2007 ein Beweis geliefert, der mit elementaren Mitteln auskommt. Entscheidend ist dabei eine bestimmte Approximation reeller durch rationale Zahlen.