Elementary Trigonometric Sums related to Quadratic Residues

Abstract

Die Autoren dieses Beitrags ordnen den Primzahlen $p\equiv 3(\mathrm{mod}4)$ zwei trigonometrische Summen zu, die verschiedene überraschende Eigenschaften an den Tag legen. Unter anderem kann die Klassenzahl $h(-p)$ des Zahlkörpers $\mathbb{Q}(\sqrt{-p})$ mit Hilfe der Differenz der beiden Summen ausgedrückt werden. Es zeigen sich Zusammenhänge mit quadratischen Residuen $\mathrm{mod}p$ oder dem Legendre-Symbol $\mathrm{mod}p$. Die Summen stehen in Beziehung zur Klassen\-zahl\-formel von Dirichlet, die verschiedene Kenngrössen von algebraischen Zahlkörpern mit dem Residuum der Dedekindschen Zetafunktion in deren Pol verbindet. Dem Leser eröffnet sich ein Bouquet von klassischen Resultaten in neuem Kleid.