An elementary approach to the location of the maximum Stirling number(s) of the second kind

Abstract

Auf wie viele Weisen lässt sich eine Menge von $n$ Elementen in $k$ nicht-leere Teilmengen zerlegen? Die Antwort hierauf liefern die Stirlingschen Zahlen $S(n, k)$ zweiter Art, wobei der Zusatz {\em zweiter Art\/} historische Gründe hat. Betrachtet man für fest gewähltes $n$ die Abhängigkeit der $S(n, k)$ von $k$, stellt man fest, dass die $S(n, k)$ zunächst zunehmen, ein Maximum erreichen und dann wieder abnehmen. Dabei kann bisher nicht ausgeschlossen werden, dass das Maximum für zwei benachbarte $k$ angenommen wird. Die Frage, wo die $S(n, k)$ ihr Maximum annehmen, wurde von verschiedenen Autoren mittels asymptotischer Aussagen behandelt. In der vorliegenden Arbeit werden mit elementaren Mitteln exakte Aussagen über die Lage des Maximums gewonnen.