Une construction d’extensions faiblement non ramifiées d’un anneau de valuation

Abstract

Résumé. Étant donné un anneau de valuation $V$ , de corps résiduel $F$ et de groupe des valeurs $\Gamma$, on donne une condition suffisante pour qu’un anneau local dominant $V$ soit un anneau de valuation de groupe $\Gamma$. Lorsque $V$ contient un corps $k$, ce résultat est appliqué à la construction d’un anneau de valuation contenant $V$ et une extension donnée $k^{\prime }$ de $k$, de groupe $\Gamma$ et de corps résiduel engendré par $k^{\prime }$ et $F$. Cela s’avère possible, notamment, lorsque $k^{\prime }$ ou $F$ est séparable sur $k$.

Abstract. Given a valuation ring $V$, with residue field $F$ and value group $\Gamma$, we give a sufficient condition for a local ring dominating $V$ to be a valuation ring with the same value group. When $V$ contains a field $k$, we apply this result to the problem of constructing a valuation ring $W$ containing $V$ and a prescribed extension $k^{\prime }$ of $k$, with value group $\Gamma$ and residue field generated by $k^{\prime }$ and $F$; this is possible in particular when either $k^{\prime }$ or $F$ is separable over $k$.