Isoperimetric inequalities for parametric variational problems

Abstract

We prove isoperimetric inequalities for general parametric variational double integrals $\mathcal{F}$, whose Lagrangians $F$ depend on the position vector $X$ and on the surface normal $N$. As an essential tool we introduce Sauvigny's $F$-conformal parameters adapted to the parametric integrand and use the notion of generalized mean and Gaussian curvature. The special cases of minimal surfaces, surfaces of bounded mean curvature and -minimizing surfaces are also discussed.

Résumé

Nous démontrerons des inégalités isopérimétriques pour les intégrales doubles variationnelles paramétriques générales $\mathcal{F}$ dont la fonction de Lagrange $F$ dépend du vecteur de position $X$ et de la surface normal $N$. Comme outil essentiel, nous introduiserons des paramètres $F$-conformes de Sauvigny adaptés l'intégrand paramétrique et nous employerons la notion de la courbure moyenne généralisée et gaussienne généralisée. Nous discuterons également les cas particuliers des surfaces minimales, des surfaces de courbure moyenne limitée et des surfaces minimalisant .