Monotonicity and separation for the Mumford–Shah problem

Abstract

We prove some monotonicity properties of the global Mumford–Shah minimizers as defined by Bonnet in [4]. The main consequence is that the only solutions for which the complement in the plane of the singular set is not connected correspond to lines and propellers. We also get a boundary version of the Mumford–Shah conjecture.

Résumé

Nous prouvons des propriétés de monotonie des solutions du problème de Mumford–Shah global défini par Bonnet dans [4]. La conséquence principale en est que les seules solutions dont le complémentaire de l'ensemble singulier n'est pas connexe correspondent à des droites et des propulseurs. Nous obtenons aussi une version à la frontière de la conjecture de Mumford–Shah.