Stability for semilinear parabolic equations with decaying potentials in $R^N$ and dynamical approach to the existence of ground states

Abstract

Consider the elliptic problem

with $1<p<\frac{n+2}{n-2}$, $n\ge 2$, and $0⩽V(x)\in L^{\infty }$, which may decay to 0 at infinity. We prove that if $V$ is radial and satisfies

then (1) admits a (ground state) positive solution. We do not use traditional variational methods and the result relies on the study of global solutions of the parabolic problem

Indeed, we will show that, under suitable conditions on $V$ (not necessarily radial), (2) admits global positive solutions and that when $V$ and $u_0$ are radial some global solutions have $\omega$-limit sets containing a positive equilibrium. The method also covers nonlinearities more general than $u^p$, in which case the standard variational method may be hard to apply.

Résumé

Nous considérons le problème elliptique

avec $1<p<\frac{n+2}{n-2},n\ge 2$, et $0⩽V(x)\in L^{\infty }$, $V(x)$ pouvant tendre vers 0 à l'infini. Nous prouvons que si $V$ est radial et satisfait

alors (1) admet une solution positive (état fondamental). Nous n'utilisons pas les méthodes variationnelles traditionnelles : le résultat repose sur l'étude des solutions globales du problème parabolique

En effet, nous montrons que, sous des conditions appropriées sur $V$ (non nécessairement radial), (2) admet des solutions globales positives et que, lorsque $V$ et $u_0$ sont radiales, l'ensemble $\omega$-limite de certaines solutions globales contient un état d'équilibre positif. La méthode s'applique également à des non-linéarités plus générales que $u^p$, pour lesquelles la méthode variationnelle classique pourrait être difficilement applicable.