Inheritance of symmetry for positive solutions of semilinear elliptic boundary value problems

Abstract

The paper addresses symmetry results for positive solutions of semilinear elliptic differential equations on a class of non-convex symmetrical domains. An example in two dimensions is the star of David. The moving plane method just shows that solutions coincide on three alternate corners of the star. We will show that the solution is symmetric with respect to remaining reflections, that is, the solution will have the full symmetry. To obtain such type of result, even for domains in higher dimensions, we use a variant of the sliding-method and the maximum principle for domains with small measure.

Résumé

Des résultats concernant la symétrie des solutions positives d' équations elliptiques semilinéaires sur une classe de domaines symétriques nonconvexes sont établis. Un exemple en dimension deux est l' étoile de David. La méthode des plans mobiles dans sa forme habituelle permet de montrer le symétrie de telles solutions seulement par rapport à trois axes. Nous sommes en mesure de prouver la symétrie par rapport au centre et donc la symétrie totale. Pour obtenir ce type de résultat, même pour des domaines en dimension supérieure à deux, nous utilisons la méthode des balayages et le principe du maximum pour les domaines de mesure petite.