Bifurcation and multiplicity results for nonlinear elliptic problems involving critical Sobolev exponents

  • Giovanna Cerami

    Istituto Matematico, Universita’, via Archirafi 34, 90123 Palermo, (Italy); Mathematics Research Center, 610 Walnut Street, Madison, WI 53705 (U. S. A.)
  • Donato Fortunato

    Dipartimento di Matematica, Universita’, via Nicolai 2, 70100 Bari (Italy)
  • Michaël Struwe

    Mathematishes Institut der Universität, Beringstrasse 4-6, D5300, Bonn 1, West Germany

Abstract

In this paper we study the existence of nontrivial solutions for the boundary value problem

when is a bounded domain, , is the critical exponent for the Sobolev embedding , is a real parameter.

We prove that there is bifurcation from any eigenvalue of and we give an estimate of the left neighbourhoods of , , in which the bifurcation branch can be extended. Moreover we prove that, if , the number of nontrivial solutions is at least twice the multiplicity of .

The same kind of results holds also when is a compact Riemannian manifold of dimension , without boundary and is the relative Laplace–Beltrami operator.

Résumé

Dans cet article, nous étudions l’existence de solutions non triviales pour le problème aux limites

est un domaine borné, , est l’exposant critique pour le plongement de Sobolev , est un paramètre réel.

Nous démontrons que toute valeur propre de est une valeur de bifurcation, et nous donnons une estimation des voisinages de où existent des solutions non triviales. Nous montrons en outre que le nombre de celles-ci est au moins le double de la multiplicité de .

On ales mêmes résultats quand Ω est une variété riemannienne compacte de dimension , et l’opérateur de Laplace–Beltrami.

Cite this article

Giovanna Cerami, Donato Fortunato, Michaël Struwe, Bifurcation and multiplicity results for nonlinear elliptic problems involving critical Sobolev exponents. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 1 (1984), no. 5, pp. 341–350

DOI 10.1016/S0294-1449(16)30416-4