Bifurcation and multiplicity results for nonlinear elliptic problems involving critical Sobolev exponents

Abstract

In this paper we study the existence of nontrivial solutions for the boundary value problem

when $\Omega \subset R^n$ is a bounded domain, $n⩾3$, $2^{⁎}=\frac{2n}{n-2}$ is the critical exponent for the Sobolev embedding ${\mathrm{H}}_0^1(\Omega )\subset {\mathrm{L}}^p(\Omega )$, $\lambda$ is a real parameter.

We prove that there is bifurcation from any eigenvalue ${\lambda }_j$ of $-\Delta$ and we give an estimate of the left neighbourhoods $]{\lambda }_j^{⁎},{\lambda }_j]$ of ${\lambda }_j$, $j\in N$, in which the bifurcation branch can be extended. Moreover we prove that, if $\lambda \in ]{\lambda }_j^{⁎},{\lambda }_j[$, the number of nontrivial solutions is at least twice the multiplicity of ${\lambda }_j$.

The same kind of results holds also when $\Omega$ is a compact Riemannian manifold of dimension $n⩾3$, without boundary and $\Delta$ is the relative Laplace–Beltrami operator.

Résumé

Dans cet article, nous étudions l’existence de solutions non triviales pour le problème aux limites

où $\Omega \subset R^n$ est un domaine borné, $n⩾3$, $2^{⁎}=\frac{2n}{n-2}$ est l’exposant critique pour le plongement de Sobolev ${\mathrm{H}}_0^1(\Omega )\subset {\mathrm{L}}^p(\Omega )$, $\lambda$ est un paramètre réel.

Nous démontrons que toute valeur propre ${\lambda }_j$ de $-\Delta$ est une valeur de bifurcation, et nous donnons une estimation des voisinages $]{\lambda }_j^{⁎},{\lambda }_j]$ de ${\lambda }_j$ où existent des solutions non triviales. Nous montrons en outre que le nombre de celles-ci est au moins le double de la multiplicité de ${\lambda }_j$.

On ales mêmes résultats quand Ω est une variété riemannienne compacte de dimension $n\geqq 3$, et $\Delta$ l’opérateur de Laplace–Beltrami.