JournalsaihpcVol. 1, No. 5pp. 341–350

# Bifurcation and multiplicity results for nonlinear elliptic problems involving critical Sobolev exponents

• ### Giovanna Cerami

Istituto Matematico, Universita’, via Archirafi 34, 90123 Palermo, (Italy), Mathematics Research Center, 610 Walnut Street, Madison, WI 53705 (U. S. A.)
• ### Donato Fortunato

Dipartimento di Matematica, Universita’, via Nicolai 2, 70100 Bari (Italy)
• ### Michaël Struwe

Mathematishes Institut der Universität, Beringstrasse 4-6, D5300, Bonn 1, West Germany

## Abstract

In this paper we study the existence of nontrivial solutions for the boundary value problem

$\left\{\begin{matrix} −\:\Delta u\:−\:\lambda u\:−\:u\left|u\right|^{2^{⁎}\:−\:2}\: = \:0\:\: & \mathrm{in}\:\:\Omega \\ \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:u = 0 & \mathrm{on}\:∂\Omega \\ \end{matrix}\right.$

when Ω⊂Rn is a bounded domain, n ⩾ 3, $2^{⁎}\: = \:\frac{2n}{n−2}$ is the critical exponent for the Sobolev embedding $\mathrm{H}_{0}^{1}(\Omega ) \subset \mathrm{L}^{p}(\Omega )$, λ is a real parameter.

We prove that there is bifurcation from any eigenvalue λj of − Δ and we give an estimate of the left neighbourhoods $]\lambda _{j}^{⁎},\lambda _j]$ of λj, j∈N, in which the bifurcation branch can be extended. Moreover we prove that, if $\lambda \in{]\lambda_j^{⁎},\lambda_j[}$, the number of nontrivial solutions is at least twice the multiplicity of λj.

The same kind of results holds also when Ω is a compact Riemannian manifold of dimension n ⩾ 3, without boundary and Δ is the relative Laplace-Beltrami operator.

# Résumé

Dans cet article, nous étudions l’existence de solutions non triviales pour le problème aux limites

$\left\{\begin{matrix} −\Delta u\:−\:\lambda u\:−\:u\left|u\right|^{2^{⁎}\:−\:2}\: = \:0 & \mathrm{in}\:\:\Omega \\ \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:u\: = \:0 & \mathrm{on}\:\:∂\Omega \\ \end{matrix}\right.$

où Ω⊂Rn est un domaine borné, n ≧ 3, $2^{⁎}\: = \:\frac{2n}{n−2}$ est l’exposant critique pour le plongement de Sobolev $\mathrm{H}_{0}^{1}(\Omega ) \subset \mathrm{L}^{p}(\Omega )$, λ est un paramètre réel.

Nous démontrons que toute valeur propre λj de − Δ est une valeur de bifurcation, et nous donnons une estimation des voisinages $]\lambda _{j}^{⁎},\lambda _j]$ de λj où existent des solutions non triviales. Nous montrons en outre que le nombre de celles-ci est au moins le double de la multiplicité de λj.

On ales mêmes résultats quand Ω est une variété riemannienne compacte de dimension n ≧ 3, et Δ l’opérateur de Laplace-Beltrami.