On the continuation of solutions for elliptic equations in two variables

Abstract

We consider nonlinear elliptic differential equations of second order in two variables $F(x,y,z(x,y),z_x(x,y),\dots ,z_{yy}(x,y))=0$, $(x,y)\in \Omega \subset {\mathbb{R}}^2$. Supposing analyticity of $F$, we prove analyticity of the real solution $z=z(x,y)$ in the open set $\Omega$. Furthermore, we show that $z$ may be continued as a real analytic solution for $F=0$ across the real analytic boundary arc $\Gamma \subset \partial \Omega$, if $z$ satisfies one of the boundary conditions $z=\phi$ or $z_{\mathbf{n}}=\psi (x,y,z,z_{\mathbf{t}})$ on $\Gamma$ with real analytic functions $\phi$ and $\psi$, respectively ($z_{\mathbf{n}}$ denotes the derivative of $z$ w.r.t. the outer normal $\mathbf{n}$ on $\Gamma$ and $z_{\mathbf{t}}$ its derivative w.r.t. the tangent). The proof is based on ideas of H. Lewy combined with a uniformization method. Studying quasilinear equations, we get somewhat better results concerning the initial regularity of the given solution and a little more insight.

Résumé

Nous considérons les équations différentielles non-linéaires elliptiques d’ordre deuxième dépendant de deux variables $F(x,y,z(x,y),z_x(x,y),\dots ,z_{yy}(x,y))=0$, $(x,y)\in \Omega \subset {\mathbb{R}}^2$. Supposent l’analyticité de $F$, nous démontrons l’analyticité de la solution réelle $z=z(x,y)$dans l’ensemble ouvert $\Omega$. En outre, nous démontrons qu’on peut prolonger $z$ comme solution analytique réelle de $F=0$ à travers la courbe $\Gamma \subset \partial \Omega$, si $z$ vérifie une des conditions aux limites $z=\phi$ or $z_{\mathbf{n}}=\psi (x,y,z,z_{\mathbf{t}})$ sur $\Gamma$ avec des fonctions analytiques réelles $\phi$ et $\psi$ ($z_{\mathbf{n}}$ designe la dérivée de $z$ par rapport à la normale extérieure $\mathbf{n}$ sur $\Gamma$ et $z_{\mathbf{t}}$ la dérivée de $z$ par rapport à la tangente). La démonstration est fondée sur des idées de H. Lewy, combinées avec une méthode d’uniformisation. En regardant des équations quasi-linéaires, nous réalisons des résultats améliorés en ce qui concerne la regularité initiale de la solution donnée et un peu plus de compréhension.