Comparison results and steady states for the Fujita equation with fractional Laplacian

Abstract

We study a semilinear PDE generalizing the Fujita equation whose evolution operator is the sum of a fractional power of the Laplacian and a convex non-linearity. Using the Feynman–Kac representation we prove criteria for asymptotic extinction versus finite time blow up of positive solutions based on comparison with global solutions. For a critical power non-linearity we obtain a two-parameter family of radially symmetric stationary solutions. By extending the method of moving planes to fractional powers of the Laplacian we prove that all positive steady states of the corresponding equation in a finite ball are radially symmetric.

Résumé

Nous étudions une équation de réaction-diffusion semilinéaire (généralisant l'équation de Fujita), dont l'opérateur d'évolution est la somme d'une puissance fractionnelle du Laplacien et d'une non-linéarité convexe. A l'aide de la représentation de Feynman–Kac nous exhibons des critères entrainant l'extinction asymptotique, respectivement l'explosion en temps fini, de solutions positives. Ces critères s'obtiennent en comparant avec des solutions globales. Pour une certaine puissance critique de la non-linéarité nous obtenons une famille paramétrisée de solutions stationnaires à symétrie radiale. Par extension de la méthode de déplacement d'hyperplans à des puissances fractionnelles du Laplacien, nous prouvons que toute solution positive stationnaire de l'équation correspondante dans une boule finie comporte une symétrie radiale.