On self-similarity and stationary problem for fragmentation and coagulation models

Abstract

We prove the existence of a stationary solution of any given mass to the coagulation–fragmentation equation without assuming a detailed balance condition, but assuming instead that aggregation dominates fragmentation for small particles while fragmentation predominates for large particles. We also show the existence of a self-similar solution of any given mass to the coagulation equation and to the fragmentation equation for kernels satisfying a scaling property. These results are obtained, following the theory of Poincaré–Bendixson on dynamical systems, by applying the Tykonov fixed point theorem on the semigroup generated by the equation or by the associated equation written in “self-similar variables”. Moreover, we show that the solutions to the fragmentation equation with initial data of a given mass behaves, as $t\to +\infty$, as the unique self similar solution of the same mass.

Résumé

Pour toute masse donnée, nous démontrons l'existence d'au moins une solution stationnaire pour l'équation de coagulation–fragmentation. Nous ne faisons pas d'hypothèse d'équilibre en détails sur les coefficients mais nous supposons que la coagulation domine la fragmentation pour les particules de petite taille et que la fragmentation est prépondérante pour les particules de grande taille. Nous démontrons également l'existence de solutions auto-similaires pour l'équation de coagulation et pour l'équation de fragmentation sous une hypothèse d'homogéneité sur les noyaux. Ces résultats sont obtenus, s'inspirant de la preuve du Théorème de Poincaré–Bendixson, en appliquant le théorème de point fixe de Tykonov sur le semi-groupe engendré par l'équation ou par l'équation écrite en variables auto-similaires associée. Enfin, nous démontrons que les solutions de l'équation de fragmentation de masse donnée $\rho >0$ se comportent en temps grand comme la solutions auto-simialire de masse $\rho$.