New Liouville theorems for linear second order degenerate elliptic equations in divergence form

Abstract

In this paper we give conditions on the positive function ${\phi }^2$ under which every bounded solution $\sigma$ of the elliptic equation $\nabla \cdot ({\phi }^2\nabla \sigma )=0\text{ in }{\mathbb{R}}^n$ must be constant. The case when ${\phi }^2$ only depends on one or two variables is discussed at length. Moreover the asymptotic behavior of possibly unbounded solutions is characterized, improving in such a way a Liouville theorem due to Berestycki, Caffarelli and Nirenberg.

Résumé

Dans ce papier nous donnons des conditions sur la fonction positive ${\phi }^2$ sous lesquelles toute solution de l'équation elliptique $\nabla \cdot ({\phi }^2\nabla \sigma )=0\text{ en }{\mathbb{R}}^n$ doit être constante. Le cas où ${\phi }^2$ ne dépend que d'une ou deux variables est analysé en détail. Ensuite, le comportement asymptotique des solutions, éventuellement non bornées est characterisé, en donnant ainsi une généralisation d'un théorème de Liouville dû à Berestycki, Caffarelli et Nirenberg.