Gevrey regularizing effect for the (generalized) Korteweg-de Vries equation and nonlinear Schrödinger equations

  • Anne De Bouard

    C.N.R.S. et Université de Paris-Sud, Mathématique, Bâtiment 425, 91405 Orsay, France
  • Nakao Hayashi

    Department of Mathematics, Faculty of Engineering, Gunma University, Kiryu 376, Japan
  • Keiichi Kato

    Department of Mathematics, Faculty of Science, Osaka University, Toyonaka 560, Japan

Abstract

This paper is concerned with regularizing effects of solutions to the (generalized) Korteweg-de Vries equation

and nonlinear Schrödinger equations in one space dimension

\[ \left\{\begin{matrix} i∂_{t}u + \frac{1}{2}∂_{x}^{2}u = G\left(u,u\limits^{¯}\right),\:\:\:\:\:\:\:(t,x) \in ℝ \times ℝ, \\ u(0) = \psi ,\:\:\:x \in ℝ,\: \\ \end{matrix}\right. \]

where p is an integer satisfying p ≥ 2, λ ∊ ℂ and G is a polynomial of \( \left(u,u\limits^{¯}\right). \) We prove that if the initial function ϕ is in a Gevrey class of order 3 defined in Section 1, then there exists a positive time T such that the solution of (gKdV) is analytic in space variable for t ∊ [−T, T]\{0}, and if the initial function ψ in a Gevrey class of order 2, then there exists a positive time T such that the solution of (NLS) is analytic in space variable for t ∊ [−T, T]\{0}.

Résumé

Nous étudions, dans cet article, certains effets régularisants pour les solutions de l’équation de Korteweg-de Vries (généralisée)

et des équations de Schrödinger monodimensionnelles

\[ \left\{\begin{matrix} i∂_{t}u + \frac{1}{2}∂_{x}^{2}u = G\left(u,u\limits^{¯}\right)\:\:\:\:\:\:(t,x) \in ℝ \times ℝ, \\ u(0) = \psi ,\:\:x \in ℝ, \\ \end{matrix}\right. \]

p est un entier supérieur ou égal à 2, λ ∈ ℂ et G est un polynôme en \( (u,u\limits^{¯}). \) Nous montrons que, lorsque la donnée initiale ϕ appartient à la classe de Gevrey définie dans la première partie, il existe un temps T tel que la solution de (gKdV) est analytique en espace pour t ∊ [−T, T]\{0}; de même, lorsque la donnée initiale ψ appartient à une certaine classe de Gevrey d’ordre 2, il existe un temps T tel que la solution de (NLS) est analytique en espace pour t ∊ [−T, T]\{0}.

Cite this article

Anne De Bouard, Nakao Hayashi, Keiichi Kato, Gevrey regularizing effect for the (generalized) Korteweg-de Vries equation and nonlinear Schrödinger equations. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 12 (1995), no. 6, pp. 673–725

DOI 10.1016/S0294-1449(16)30148-2