Gevrey regularizing effect for the (generalized) Korteweg-de Vries equation and nonlinear Schrödinger equations

Abstract

This paper is concerned with regularizing effects of solutions to the (generalized) Korteweg-de Vries equation

and nonlinear Schrödinger equations in one space dimension

where $p$ is an integer satisfying $p\ge 2$, $\lambda \in C$ and $G$ is a polynomial of $\left(u,\bar{u}\right)$. We prove that if the initial function $\varphi$ is in a Gevrey class of order 3 defined in Section 1, then there exists a positive time $T$ such that the solution of (gKdV) is analytic in space variable for $t\in [-T,T]\backslash \{0\}$, and if the initial function $\psi$ in a Gevrey class of order 2, then there exists a positive time $T$ such that the solution of (NLS) is analytic in space variable for $t\in [-T,T]\backslash \{0\}$.

Résumé

Nous étudions, dans cet article, certains effets régularisants pour les solutions de l’équation de Korteweg-de Vries (généralisée)

et des équations de Schrödinger monodimensionnelles

où $p$ est un entier supérieur ou égal à 2, $\lambda \in C$ et $G$ est un polynôme en $(u,\bar{u})$. Nous montrons que, lorsque la donnée initiale $\varphi$ appartient à la classe de Gevrey définie dans la première partie, il existe un temps $T$ tel que la solution de (gKdV) est analytique en espace pour $t\in [-T,T]\backslash \{0\}$; de même, lorsque la donnée initiale $\psi$ appartient à une certaine classe de Gevrey d’ordre 2, il existe un temps $T$ tel que la solution de (NLS) est analytique en espace pour $t\in [-T,T]\backslash \{0\}$.