A solution to the bidimensional Global Asymptotic Stability Conjecture

Abstract

If $Y:{\mathfrak{R}}^2\to {\mathfrak{R}}^2$ is а ${С}^1$ vector field such that $Y(0)=0$ and, for all $q\in {\mathfrak{R}}^2$, all the eigenvalues of $DX(q)$ have negative real part, then the stable manifold of $0$ is ${\mathfrak{R}}^2$.

Let $\rho \in [0,\infty )$ and $Y:{\mathfrak{R}}^2\to {\mathfrak{R}}^2$ be a $C^1$ map such that, for all $q\in {\mathfrak{R}}^2$, the determinant of $DY(q)$ is positive and moreover, for all $p\in {\mathfrak{R}}^2$, with $|p|\ge \rho$, the spectrum of $DY(p)$ is disjoint of the non-negative real half axis. Then $Y$ is injective.

Résumé

Si $Y:{\mathfrak{R}}^2\to {\mathfrak{R}}^2$ est un champ de vecteur tel que $Y(0)=0$ et, pour tout $q\in {\mathfrak{R}}^2$, les valeurs propres de $DY(q)$ ont leur partie réelle négative, alors la variété stable de $0$ est ${\mathfrak{R}}^2$.

Soit $\rho \in [0,\infty )$ et $Y:{\mathfrak{R}}^2\to {\mathfrak{R}}^2$ une application $C^1$ telle que, pour tout $q\in {\mathfrak{R}}^2$, le déterminant de $DY(q)$ est positif et de plus, pour tout $p\in {\mathfrak{R}}^2$, avec $|p|>\rho$, le spectre de $DY(p)$ est disjoint du demi-axe réel non négatif. Alors $Y$ est injective.