Attractors of the reaction-diffusion systems with rapidly oscillating coefficients and their homogenization

Abstract

The following reaction-diffusion system in spatially non-homogeneous almost-periodic media is considered in a bounded domain $\Omega \subset {\mathbb{R}}^3$:

Here $u=(u^1,\dots ,u^k)$ is an unknown vector-valued function, $f$ is a given nonlinear interaction function and the second order elliptic operator $A_{\epsilon }$ has the following structure:

where $a_{ij}^l(y)$ are given almost-periodic functions. We prove that, under natural assumptions on the nonlinear term $f(u)$, the longtime behavior of solutions of (1) can be described in terms of the global attractor ${\mathcal{A}}^{\varepsilon }$ of the associated dynamical system and that the attractors ${\mathcal{A}}^{\varepsilon }$, $0<\epsilon <{\epsilon }_0⪡1$, converge to the attractor ${\mathcal{A}}^0$ of the homogenized problem (1) as $\epsilon \to 0$. Moreover, in the particular case of periodic media, we give explicit estimates for the distance between the non-homogenized ${\mathcal{A}}^{\varepsilon }$ and the homogenized ${\mathcal{A}}^0$ attractors in terms of the parameter $\epsilon$.

Résumé

Nous considérons le systéme de réaction-diffusion suivant dans un milieu non homogéne presque périodique en espace dans un domaine borné $\Omega \subset {\mathbb{R}}^3$ :

Ici, $u=(u^1,\dots ,u^k)$ est une fonction vectorielle inconnue, $f$ est une fonction d’interaction nonlinéaire donnée et l’opérateur elliptique du second ordre $A_{\epsilon }$ a la structure suivante :

oú les $a_{ij}^l(y)$ sont des fonctions presque périodiques données. Nous prouvons que, sous des hypothéses naturelles sur le term nonlinéaire $f(u)$, le comportement asymptotique des solutions de (1) peut etre décrit par l’attracteur global ${\mathcal{A}}^{\varepsilon }$ du systéme dynamique associé et que les attracteurs ${\mathcal{A}}^{\varepsilon }$, $0<\epsilon <{\epsilon }_0⪡1$, convergent vers l’attracteur ${\mathcal{A}}^0$ du probléme homogénéisé de (1) lorsque $\epsilon \to 0$. De pluis, dans le cas particulier d’un milieu périodique, nous donnons des estimations explicites de la distance entre les attracteur non homogénéisés ${\mathcal{A}}^{\varepsilon }$ et l’attracteur homogénéisé ${\mathcal{A}}^0$ en fonction du paramétre $\epsilon$.