Uniqueness and stability of regional blow-up in a porous-medium equation
Carmen Cortázar
Departamento de Matemáticas, Pontificia Universidad Católica de Chile, Casilla 306, Correo 22, Santiago, ChileManuel del Pino
Departamento de Ingenierı́a Matemática, Universidad de Chile, and Centro de Modelamiento Matemático, UMR2071 CNRS-UChile, Casilla 170, Correo 3, Santiago, ChileManuel Elgueta
Departamento de Matemáticas, Pontificia Universidad Católica de Chile, Casilla 306, Correo 22, Santiago, Chile
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Abstract
We study the blow-up phenomenon for the porous-medium equation in , ,
, for nonnegative, compactly supported initial data. A solution to this problem blows-up at a finite time . Our main result asserts that there is a finite number of points , with for , such that
Here is the unique nontrivial, nonnegative compactly supported, radially symmetric solution of the equation in and is the radius of its support. Moreover remains uniformly bounded up to its blow-up time on compact subsets of . The question becomes reduced to that of proving that the -limit set in the problem consists of a single point when its initial condition is nonnegative and compactly supported.
Résumé
Nous étudions le phénomène d’explosion pour l’équation des milieux poreux dans , ,
, pour une donnée initiale positive ou nulle, à support compact. Une solution de ce problème explose en temps fini . Notre principal résultat établit qu’il existe un nombre fini de points , with avec , tels que
Ici est l’unique solution non triviale, positive ou nulle, à support compact et à symétrie radiale de l’équation dans et est le rayon de son support. De plus, reste uniformément bornée jusqu’à son temps d’explosion sur des sous-ensembles compacts . La question est ramenée à la démonstration que l’ensemble -limite du problème est constitué d’un seul point quand sa donnée initiale est positive ou nulle et à support compact.
Cite this article
Carmen Cortázar, Manuel del Pino, Manuel Elgueta, Uniqueness and stability of regional blow-up in a porous-medium equation. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 19 (2002), no. 6, pp. 927–960
DOI 10.1016/S0294-1449(02)00107-5