Uniqueness and stability of regional blow-up in a porous-medium equation

Abstract

We study the blow-up phenomenon for the porous-medium equation in ${\mathbf{R}}^N$, $N⩾1$,

$m>1$, for nonnegative, compactly supported initial data. A solution $u(x,t)$ to this problem blows-up at a finite time $\bar{T}>0$. Our main result asserts that there is a finite number of points $x_1,\dots ,x_k\in {\mathbf{R}}^N$, with $\left|x_i-x_j\right|\ge 2R^{\ast }$ for $i\ne j$, such that

Here $w_{\ast }\left(\left|x\right|\right)$ is the unique nontrivial, nonnegative compactly supported, radially symmetric solution of the equation $\Delta w^m+w^m-\frac{1}{m-1}w=0$ in ${\mathbf{R}}^N$ and $R^{\ast }$ is the radius of its support. Moreover $u(x,t)$ remains uniformly bounded up to its blow-up time on compact subsets of ${\mathbf{R}}^N\backslash {\bigcup }_{j=1}^k\bar{B}(x_j,R^{\ast })$. The question becomes reduced to that of proving that the $\omega$-limit set in the problem $v_t=\Delta v^m+v^m-\frac{1}{m-1}v$ consists of a single point when its initial condition is nonnegative and compactly supported.

Résumé

Nous étudions le phénomène d’explosion pour l’équation des milieux poreux dans ${\mathbf{R}}^N$, $N⩾1$,

$m>1$, pour une donnée initiale positive ou nulle, à support compact. Une solution $u(x,t)$ de ce problème explose en temps fini $\bar{T}>0$. Notre principal résultat établit qu’il existe un nombre fini de points $x_1,\dots ,x_k\in {\mathbf{R}}^N$, with $\left|x_i-x_j\right|\ge 2R^{\ast }$ avec $i\ne j$, tels que

Ici $w_{\ast }(|x|)$ est l’unique solution non triviale, positive ou nulle, à support compact et à symétrie radiale de l’équation $\Delta w^m+w^m-\frac{1}{m-1}w=0$ dans ${\mathbf{R}}^N$ et $R^{\ast }$ est le rayon de son support. De plus, $u(x,t)$ reste uniformément bornée jusqu’à son temps d’explosion sur des sous-ensembles compacts ${\mathbf{R}}^N\backslash {\bigcup }_{j=1}^k\bar{B}\left(x_j,R^{\ast }\right)$. La question est ramenée à la démonstration que l’ensemble $\omega$-limite du problème $v_t=\Delta v^m+v^m-\frac{1}{m-1}v$ est constitué d’un seul point quand sa donnée initiale est positive ou nulle et à support compact.