Sur l’équation générale $u_t=a(.,u,\phi (.,u{)}_x{)}_x+\nu$ dans $L^1$ : II. Le problème d’évolution

Abstract

We consider in this article, the general equation $u_t=a(.,u,\phi (.,u{)}_x{)}_x+v$ of parabolic type, which may degenerate into first order hyperbolic type for some values of $(x,u)$. Under very general assumptions on the data, we prove existence, uniqueness and continuous dépendance results for mild solution of associated Cauchy Problem or Boundary Value Problems. With additionnai assumptions on the data, we show that this mild solution is an “entropy solution”. We study uniqueness of a weak solution and existence of strong solution.

Résumé

Nous étudions dans cet article l’équation générale $u_t=a(.,u,\phi (.,u{)}_x{)}_x+v$ de type parabolique pouvant dégénérer en hyperbolique du premier ordre pour certaines valeurs de $(x,u)$. Utilisant la théorie des semi-groupes non linéaires dans $L^1$, nous établissons des résultats d’existence, d’unicité et de dépendance continue par rapport aux données, d’une « bonne solution » du problème de Cauchy ou de problèmes aux limites associés à cette équation sous des hypothèses très générales sur les données. Avec des hypothèses complémentaires, nous montrons que cette « bonne solution » est « solution entropique », nous étudions l’unicité des solutions faibles et l’existence de solution forte.