Sur l’équation générale ut = a(., u, φ(., u)x)x + ν dans L1 : II. Le problème d’évolution

  • Philippe Bénilan

    Équipe de Mathématiques, UA CNRS 741, Université de Franche-Comté, 25030 Besançon Cedex, France
  • Hamidou Touré

    Faculté des Sciences et Techniques, Université de Ouagadougou, 03 BP 7021 Ouagadougou 03, Burkina Faso

Abstract

Résumé

Nous étudions dans cet article l’équation générale ut = a(., u, φ(., u)x)x + v de type parabolique pouvant dégénérer en hyperbolique du premier ordre pour certaines valeurs de (x, u). Utilisant la théorie des semi-groupes non linéaires dans L1, nous établissons des résultats d’existence, d’unicité et de dépendance continue par rapport aux données, d’une « bonne solution » du problème de Cauchy ou de problèmes aux limites associés à cette équation sous des hypothèses très générales sur les données. Avec des hypothèses complémentaires, nous montrons que cette « bonne solution » est « solution entropique », nous étudions l’unicité des solutions faibles et l’existence de solution forte.

We consider in this article, the general equation ut = a(., u, φ(., u)x)x + v of parabolic type, which may degenerate into first order hyperbolic type for some values of (x, u). Under very general assumptions on the data, we prove existence, uniqueness and continuous dépendance results for mild solution of associated Cauchy Problem or Boundary Value Problems. With additionnai assumptions on the data, we show that this mild solution is an “entropy solution”. We study uniqueness of a weak solution and existence of strong solution.

Cite this article

Philippe Bénilan, Hamidou Touré, Sur l’équation générale ut = a(., u, φ(., u)x)x + ν dans L1 : II. Le problème d’évolution. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 12 (1995), no. 6, pp. 727–761

DOI 10.1016/S0294-1449(16)30149-4