Uniform rectifiability and singular sets

Abstract

Under what conditions can one say something about the geometric structure of the singular set of a function? A famous result of this type states that the singular set (= set of non-Lebesgue points) of a function of bounded variation on ${\mathbf{R}}^n$ is (countably) rectifiable. In this paper we shall be concerned with quantitative forms of rectifiability, and we give a quantitative version of this theorem. We also give uniform rectifiability results for the singular sets of minimizers of higher-dimensional versions of the Mumford–Shah functional. Along the way we shall encounter some generalizations of the usual topological notion of a set “separating” points in the complement, including one which is based on the failure of Poincaré inequalities on the complement of the given set.

Résumé

Que peut-on dire de la structure géométrique de l’ensemble de singularités d’une fonction $f$ définie sur ${\mathbf{R}}^n$? Un théorème classique dit que si $f$ est à variation bornée, alors l’ensemble singulier de $f$ (c’est-à-dire le complémentaire de l’ensemble des points de Lebesgue de $f$) est dénombrablement rectifiable. Dans cet article, on donne une version quantifiée de ce théorème utilisant la notion de rectifiabilité uniforme. On donne également un résultat de rectifiabilité uniforme des ensembles singuliers associés aux sections minimisantes pour la fonctionnelle de Mumford–Shah en dimension quelconque. L’une des idées directrices de l’article est que la rectifiabilité d’un ensemble de codimension 1 est en rapport étroit avec la manière dont il sépare localement ${\mathbf{R}}^n$ en composantes. On y trouve en particulier une notion de séparation basée sur l’absence de bonnes inégalités de Poincaré dans le complémentaire.