Super-critical boundary bubbling in a semilinear Neumann problem

Abstract

In this paper we consider the following problem

where $\Omega$ is a smooth bounded domain in ${\mathbb{R}}^N$ and $N⩾3$.

We prove the existence of a one-spike solution to (0.1) which concentrates around a topologically non trivial critical point of the mean curvature of the boundary with positive value. Under some symmetry assumption on $\Omega$, namely if $\Omega$ is even with respect to $N-1$ variables and $0\in \partial \Omega$ is a point with positive mean curvature, we prove existence of solutions to (0.1) which resemble the form of a super-position of spikes centered at 0.

Résumé

Dans cet article nous considérons le problème suivant :

oú $\Omega$ est un domaine borné régulier dans ${\mathbb{R}}^N$ et $N⩾3$. Nous prouvons l'existence d'une solution 1-transitoire au problème (0.2), qui se concentre autour d'un point critique topologiquement non trivial de la courbure moyenne, où celle-ci est strictement positive. Sous certaines hypothéses de symétrie sur $\Omega$ nous prouvons l'existence de solutions de (0.2) qui ressemblent à une superposition des transitoires centrées en un certain point du bord.