Convexity estimates for nonlinear elliptic equations and application to free boundary problems

Abstract

We prove the convexity of the set which is delimited by the free boundary corresponding to a quasi-linear elliptic equation in a 2-dimensional convex domain. The method relies on the study of the curvature of the level lines at the points which realize the maximum of the normal derivative at a given level, for analytic solutions of fully nonlinear elliptic equations. The method also provides an estimate of the gradient in terms of the minimum of the (signed) curvature of the boundary of the domain, which is not necessarily assumed to be convex.

Résumé

Nous démontrons la convexité de l’ensemble délimité par la frontière libre correspondant à une équation quasi-linéaire elliptique définie sur un domaine convexe en dimension 2. La méthode repose sur l’étude de la courbure des lignes de niveau aux points qui réalisent le maximum de la dérivée normale pour un niveau donné, pour des solutions analytiques d’équations elliptiques complètement non linéaires. La méthode donne aussi une estimation du gradient en fonction du minimum de la courbure (signée) du bord du domaine, qui n’est pas nécessairement supposé convexe.