Positive solutions to superlinear second-order divergence type elliptic equations in cone-like domains

Abstract

We study the problem of the existence and nonexistence of positive solutions to the superlinear second-order divergence type elliptic equation with measurable coefficients $-\nabla \cdot a\cdot \nabla u=u^p$ $(\ast ),p>1$, in an unbounded cone-like domain $G\subset {\mathbb{R}}^N$ $(N⩾3)$. We prove that the critical exponent $p^{\ast }(a\text{,}G)=\inf \{p>1:(\ast )\text{has a positive supersolution at infinity in}G\}$ for a nontrivial cone-like domain is always in $(1\text{,}\frac{N}{N-2})$ and depends both on the geometry of the domain G and the coefficients a of the equation.

Résumé

Nous étudions le problème d'existence ou non existence de solutions positives d'équations elliptiques de type divergence du second-ordre superlinéaires à coefficients mesurables $-\nabla \cdot a\cdot \nabla u=u^p$ $(\ast )$, $p>1$, sur un domaine conique $G\subset {\mathbb{R}}^N$ $(N⩾3)$. Nous prouvons que l'exposant critique $p^{\ast }(a\text{,}G)=\inf \{p>1:(\ast )\text{a une supersolution positive aˋ l’infini dans}G\}$ pour un domaine conique non–trivial est toujours dans $(1\text{,}\frac{N}{N-2})$, dépend à la fois de la géometrie du domaine G et des coefficients a de l'équation.