Abstract

We study the problem of the existence and nonexistence of positive solutions to the superlinear second-order divergence type elliptic equation with measurable coefficients −\mathrm{∇} \cdot a \cdot \mathrm{∇}u = u^{p}$$(*), $p > 1$, in an unbounded cone-like domain G \subset \mathbb{R}^{N}$$(N⩾3). We prove that the critical exponent $p^{*}(a\text{,}G) = \mathrm{\inf }\{p > 1:\:(*)\:\text{has a positive supersolution at infinity in}\:G\}$ for a nontrivial cone-like domain is always in $(1\text{,}\frac{N}{N−2})$ and depends both on the geometry of the domain G and the coefficients a of the equation.

Résumé

Nous étudions le problème d'existence ou non existence de solutions positives d'équations elliptiques de type divergence du second-ordre superlinéaires à coefficients mesurables −\mathrm{∇} \cdot a \cdot \mathrm{∇}u = u^{p}$$(*), $p > 1$, sur un domaine conique G \subset \mathbb{R}^{N}$$(N⩾3). Nous prouvons que l'exposant critique $p^{*}(a\text{,}G) = \mathrm{\inf }\{p > 1:\:(*)\:\text{a une supersolution positive à l'infini dans}\:G\}$ pour un domaine conique non–trivial est toujours dans $(1\text{,}\frac{N}{N−2})$, dépend à la fois de la géometrie du domaine G et des coefficients a de l'équation.