Viscosity solutions of nonlinear integro-differential equations

Abstract

We investigate the questions of the existence and uniqueness of viscosity solutions to the Cauchy problem for integro-differential PDEs with nonlinear integral term. The existence of a solution is established by considering semicontinuous subsolutions and supersolutions and applying Perron’s method. Uniqueness is proved for both bounded and unbounded solutions. These results are then applied to a problem arising in Finance, namely the stochastic differential utility model under mixed Poisson–Brownian information.

Résumé

Nous étudions l’existence et l’unicité de solutions de viscosité du problème de Cauchy pour des équations aux dérivées partielles integro-différentielles dont Ie terme intégral est non linéaire. L’existence est obtenue par Ia méthode de Perron et des principes de comparaison sont prouvés pour des fonctions bornées ou non bornées. Enfin, nous appliquons ces résultats au modèle économique d’utilité différentielle stochastique adaptée à Ia filtration engendrée par un mouvement Brownien et un processus de Poisson.