Properties of pseudoholomorphic curves in symplectisations I: Asymptotics

Abstract

Given an oriented, compact, 3-dimenional contact manifold $(M,\lambda )$ we study maps $\tilde{u}=(a,u):C\to R\times M$ satisfying the Cauchy–Riemann type equation ${\tilde{u}}_s+\tilde{J}(\tilde{u}){\tilde{u}}_t=0$, with a very special almost complex structure $\tilde{J}$ related to the contact form $\lambda$ on $M$. If the energy is positive and bounded, $0<E(\tilde{u})<\infty$, then the asymptotic behavior of $u:C\to M$ as $|z|\to \infty$ is intimately related to the dynamics of the Reeb vector field $X_{\lambda }$ on $M$. Assuming the periodic solutions of $X_{\lambda }$ to be non degenerate, we shall show that ${\lim }_{R\to \infty }u(\mathrm{R}{\mathrm{e}}^{2\pi it})=x(Tt)$ for a $T$-periodic solution $x$ with $E(\tilde{u})=T$. The main result is an asymptotic formula which demonstrates the exponential nature of this limit. Some consequences for the geometry of the maps $u:C\to M$ are deduced.

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Résumé

Étant donnée $(M,\lambda )$ une variété de type contact, compacte, orientée et de dimension trois, nous étudions les applications $\tilde{u}=(a,u):C\to R\times M$ solutions de l’équation de type Cauchy–Riemann ${\tilde{u}}_s+\tilde{J}(\tilde{u}){\tilde{u}}_t=0$ où $\tilde{J}$ est une structure presque complexe très particulière, reliée à la forme de contact $\lambda$ définie sur $M$. Lorsque l’énergie est positive et bornée, $0<E(\tilde{u})<\infty$, le comportement asymptotique d’une solution $u:C\to M$ quand $|z|\to \infty$, est intimement lié à la dynamique du champ de Reeb $X_{\lambda }$ défini sur $M$. Supposant que les orbites périodiques de $X_{\lambda }$ sont non dégénérées, nous allons montrer que lorsque $R\to \infty$, $\lim u(\mathrm{R}{\mathrm{e}}^{2\pi it})=x(Tt)$, où $x$ est une orbite $T$-périodique de $X_{\lambda }$ vérifiant $T=E(\tilde{u})$. Le principal résultat de cet article est une formule asymptotique qui établit la nature exponentielle de cette limite. On en déduit certaines conséquences pour la géométrie des solutions $u:C\to M$.

Une correction de cet article est disponible.