# The large deformation of nonlinearly elastic shells in axisymmetric flows

• ### Massimo Lanza De Cristoforis

Dipartimento di Matematica Pura ed Applicata, Università di Padova, Via Belzoni 7, 35131 Padova, Italy
• ### Stuart S. Antman

Department of Mathematics and Institute for Physical Science and Technology, University of Maryland, College Park, MD 20742, U.S.A

## Abstract

This paper treats the large deformation of closed nonlinearly elastic axisymmetric shells under an external pressure field generated by the steady, irrotational, axisymmetric flow of an incompressible, inviscid fluid. The flow is assumed to have a prescribed velocity U and pressure Ρ at infinity. The deformation of the shells is described by a geometrically exact theory. The parameters U and Ρ and the deformed shape of the shell uniquely determine the velocity field of the steady flow. The most difficult part of the analysis is to show that the velocity and pressure of the flow on the shell depend continuously and compactly on the function describing the shape. The pressure field on the shell is substituted into the equilibrium equations for the shell, yielding a system of ordinary functional-differential equations. These are converted into a fixed-point form, which is analyzed by a global implicit function theorem. The problem has technical difficulties that do not arise in problems with rigid obstacles.

### Résumé

On s’intéresse aux grandes déformations d’une coque fermée axisymétrique soumise à l’action du champ de pression externe engendré par l’écoulement stationnaire et irrotationnel d’un fluide parfait incompressible autour de la coque. On utilise pour modéliser la coque une théorie géométriquement exacte avec une loi de comportement élastique non linéaire générale. La vitesse et la pression de l’écoulement à l’infini sont deux constantes données U et P. Le champ de vitesse du fluide est déterminé de façon unique par ces deux paramètres et par la forme de la coque dans sa configuration déformée. La partie la plus délicate de notre analyse consiste à montrer que les champs de vitesse et de pression sur la surface de la coque dépendent continûment et de façon compacte de la fonction qui décrit la forme de la coque. Substituant la pression dans les équations d’équilibre de la coque, on obtient un système d’équations fonctionnelles-différentielles ordinaires que l’on transforme ensuite en problème de point fixe. Ce problème est lui-même résolu à l’aide d’un théorème des fonctions implicites global. On rencontre ici les difficultés techniques qui ne se présentent pas dans les problèmes avec obstacle rigide.