On the Dirac delta as initial condition for nonlinear Schrödinger equations

Abstract

In this article we will study the initial value problem for some Schrödinger equations with Dirac-like initial data and therefore with infinite $L^2$ mass, obtaining positive results for subcritical nonlinearities. In the critical case and in one dimension we prove that after some renormalization the corresponding solution has finite energy. This allows us to conclude a stability result in the defocusing setting. These problems are related to the existence of a singular dynamics for Schrödinger maps through the so-called Hasimoto transformation.

Résumé

Dans cet article on étudie le problème de Cauchy pour des équations de Schrödinger avec donnée initiale de type Dirac et donc avec masse $L^2$ infinie, obtenant des résultats positifs pour les non linéarités sous-critiques. Dans le cas critique et en dimension un, on montre qu'après une certaine renormalisation la solution correspondante est d'énergie finie. On en déduit un résultat de stabilité dans le cas défocalisant. Ces problèmes sont liés à l'existence d'une dynamique singulière des applications de type Schrödinger par la transformation de Hasimoto.