Strong solutions for a compressible fluid model of Korteweg type

Abstract

We prove existence and uniqueness of local strong solutions for an isothermal model of capillary compressible fluids derived by J.E. Dunn and J. Serrin (1985). This nonlinear problem is approached by proving maximal regularity for a related linear problem in order to formulate a fixed point equation, which is solved by the contraction mapping principle. Localising the linear problem leads to model problems in full and half space, which are treated by Dore–Venni Theory, real interpolation and ${\mathcal{H}}^{\infty }$-calculus. For these steps, it is decisive to find conditions on the inhomogeneities that are necessary and sufficient.

Résumé

Nous prouvons l'existence et l'unicité de fortes solutions locales pour un modèle de fluides compressibles isothermes avec capillarité, dérivé par J.E. Dunn et J. Serrin (1985). L'idée de la démonstration consiste à montrer la régularité maximale d'un problème linéaire apparenté, afin de formuler un problème de point fixe, résolu par la suite par le principe de la contraction. Le problème linéaire est transféré par le principe de la localisation aux problèmes de modèle correspondants sur l'espace entier et sur le demi-espace. Ceux-là peuvent être traités à l'aide de la théorie de Dore–Venni, de l'interpolation réelle et du calcul des ${\mathcal{H}}^{\infty }$. Pour ces étapes, il est essentiel de trouver les conditions nécessaires et suffisantes pour les inhomogénéités.