Decomposition of homogeneous vector fields of degree one and representation of the flow

Abstract

We first give a characterization for the set of real analytic diffeomorphisms which transform homogeneous vector fields of certain degree into homogeneous fields of the same degree with respect to an arbitrary dilation ${\delta }_{\epsilon }^r$. Such a set is constituted by the invertible analytic maps that are homogeneous of degree one with respect to ${\delta }_{\epsilon }^r$ and can be endowed with the structure of a Lie Group whose Lie algebra is the space $H^{1,r}(R^n)$ of the homogeneous fields of degree one with respect to ${\delta }_{\epsilon }^r$. Then we prove a decomposition theorem for the elements of the non semisimple Lie algebra $H^{1,r}(R^n)$. This result is a non linear analog of the Jordan decomposition of a linear field, i.e. for $X\in H^{1,r}(R^n)$, we can write $X=S+N$, with $S$ linear semisimple and $[S,N]=0$. We also give an explicit representation formula for the flow generated by a field in $H^{1,r}(R^n)$. Finally we apply this result to obtain a simple representation for the trajectories of a class of affine control systems $\dot{x}=X_0(x)+Bu$, with $X_0\in H^{1,r}(R^n)$ and $В$ a constant field, that constitute a natural extension of the linear control systems.

Résumé

Tout d’abord, nous donnons une caractérisation de l’ensemble des difféomorphismes analytiques réels qui transforment des champs de vecteurs homogènes d’un certain degré en champs de vecteurs homogènes de même degré relativement à une dilatation arbitraire ${\delta }_{\epsilon }^r$. Un tel ensemble est constitué par des applications analytiques inversibles homogènes de degré 1 relativement à ${\delta }_{\epsilon }^r$, et il peut être doté d’une structure de groupe de Lie. L’espace $H^{1,r}(R^n)$ des champs de vecteurs homogènes de degré 1 relativement à ${\delta }_{\epsilon }^r$ est l’algèbre de Lie de cet ensemble. Ensuite, nous démontrons un théorème de décomposition pour les éléments de l’algèbre de Lie non-semisimple $H^{1,r}(R^n)$. Ce résultat est l’analogue non linéaire de la décomposition de Jordan d’un champ linéaire, i.e., pour $X\in H^{1,r}(R^n)$, nous pouvons écrire $X=S+N$, où $S$ est un champ linéaire semisimple et $[S,N]=0$. Nous donnons aussi une formule explicite de représentation pour le flux d’un champ de $H^{1,r}(R^n)$. Finalement, nous utilisons ce résultat pour obtenir une représentation simple des trajectoires d’une classe du système affines de contrôle $\dot{x}=X_0(x)+Bu$, où $X_0\in H^{1,r}(R^n)$ et $В$ est un champ constant, qui constitue une extension naturelle des systèmes linéaires de contrôle.