JournalsaihpcVol. 13, No. 2pp. 135–169

Decomposition of homogeneous vector fields of degree one and representation of the flow

  • Fabio Ancona

    Department of Mathematics, P.O. Box 395, University of Colorado, Boulder, Colorado 80309 - 0395, S.I.S.S.A. - International School for Advanced Studies, via Beirut n. 2–4, Trieste 34014, Italy
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Abstract

We first give a characterization for the set of real analytic diffeomorphisms which transform homogeneous vector fields of certain degree into homogeneous fields of the same degree with respect to an arbitrary dilation δεr\delta _{\varepsilon }^{r}. Such a set is constituted by the invertible analytic maps that are homogeneous of degree one with respect to δεr\delta _{\varepsilon }^{r} and can be endowed with the structure of a Lie Group whose Lie algebra is the space H1,r(ℝn) of the homogeneous fields of degree one with respect to δεr\delta _{\varepsilon }^{r}. Then we prove a decomposition theorem for the elements of the non semisimple Lie algebra H1,r(ℝn). This result is a non linear analog of the Jordan decomposition of a linear field, i.e. for XH1,r(ℝn), we can write X = S + N, with S linear semisimple and [S, N] = 0. We also give an explicit representation formula for the flow generated by a field in H1,r(ℝn). Finally we apply this result to obtain a simple representation for the trajectories of a class of affine control systems x\limits^{˙} = X_{0}(x) + B\:u, with X0 ∈ H1,r(ℝn) and В a constant field, that constitute a natural extension of the linear control systems.

Résumé

Tout d’abord, nous donnons une caractérisation de l’ensemble des difféomorphismes analytiques réels qui transforment des champs de vecteurs homogènes d’un certain degré en champs de vecteurs homogènes de même degré relativement à une dilatation arbitraire δεr\delta _{\varepsilon }^{r}. Un tel ensemble est constitué par des applications analytiques inversibles homogènes de degré 1 relativement à δεr\delta _{\varepsilon }^{r}, et il peut être doté d’une structure de groupe de Lie. L’espace H1,r(ℝn) des champs de vecteurs homogènes de degré 1 relativement à δεr\delta _{\varepsilon }^{r} est l’algèbre de Lie de cet ensemble. Ensuite, nous démontrons un théorème de décomposition pour les éléments de l’algèbre de Lie non-semisimple H1,r(ℝn). Ce résultat est l’analogue non linéaire de la décomposition de Jordan d’un champ linéaire, i.e., pour XH1,r(ℝn), nous pouvons écrire X = S + N, où S est un champ linéaire semisimple et [S, N] = 0. Nous donnons aussi une formule explicite de représentation pour le flux d’un champ de H1,r(ℝn). Finalement, nous utilisons ce résultat pour obtenir une représentation simple des trajectoires d’une classe du système affines de contrôle x\limits^{˙} = X_{0}(x) + B\:u,X0 ∈ H1,r(ℝn) et В est un champ constant, qui constitue une extension naturelle des systèmes linéaires de contrôle.

Cite this article

Fabio Ancona, Decomposition of homogeneous vector fields of degree one and representation of the flow. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 13 (1996), no. 2, pp. 135–169

DOI 10.1016/S0294-1449(16)30100-7