A characterization of convex calibrable sets in $R^N$ with respect to anisotropic norms

Abstract

A set is called “calibrable” if its characteristic function is an eigenvector of the subgradient of the total variation. The main purpose of this paper is to characterize the “$\varphi$-calibrability” of bounded convex sets in ${\mathbb{R}}^N$ with respect to a norm $\varphi$ (called anisotropy in the sequel) by the anisotropic mean $\varphi$-curvature of its boundary. It extends to the anisotropic and crystalline cases the known analogous results in the Euclidean case. As a by-product of our analysis we prove that any convex body $C$ satisfying a $\varphi$-ball condition contains a convex $\varphi$-calibrable set $K$ such that, for any $V\in [|K|,|C|]$, the subset of $C$ of volume $V$ which minimizes the $\varphi$-perimeter is unique and convex. We also describe the anisotropic total variation flow with initial data the characteristic function of a bounded convex set.

Résumé

On dit qu'un ensemble est « calibrable » si sa fonction est vecteur propre du sous-gradient de la variation totale. Le but de cet article est une caractérisation de la « $\varphi$-calibrabilité » des ensembles convexes bornés de ${\mathbb{R}}^N$, relativement à une norme $\varphi$ (appelée anisotropie), en fonction de la $\varphi$-courbure moyenne anisotrope de leur frontière. Il s'agit donc d'une extension aux cas anisotropes et cristallins de résultats connus dans le cas euclidien. On démontre en particulier l'existence dans tout corps convexe régulier $C$ d'un convexe $K\subseteq C$ $\varphi$-calibrable, tel que pour tout $V\in [|K|,|C|]$, l'ensemble de volume $V$ de $\varphi$-périmètre minimal contenu dans $C$ est unique et convexe. Nous étudions aussi le flot de la variation totale anisotrope à partir de la caractéristique d'un ensemble convexe borné.