Un principe de concentration-compacité pour les suites de surfaces Riemanniennes

Abstract

In this paper, we study sequences of metrics on a compact surface $S$, with bounded area and curvature. We prove that, if the conformal structure of these metrics remains bounded, then either the sequence has a convergent subsequence or there exists a point at which a certain amount of positive curvature concentrates. This level of concentration is computed. (When the curvature is uniformely bounded, then this level is $2\pi$.)

Résumé

Nous étudions dans cet article des suites de métriques à aire et courbure bornées sur une surface compacte $S$. Nous démontrons que, si la structure conforme reste bornée, alors ou bien il existe une sous-suite convergente, ou bien il existe un point où une certaine quantité positive de courbure se concentre. Ce niveau de concentration est calculé, (dans le cas où la courbure est bornée uniformément, ce niveau est $2\pi$).