Classical solvability in dimension two of the second boundary-value problem associated with the Monge-Ampère operator

Abstract

Given two bounded strictly convex domains of $R^n$ and a positive function on their product, all data being smooth, find a smooth strictly convex function whose gradient maps one domain onto the other with Jacobian determinant proportional to the given function. We solve this problem under the (technical) condition $n=2$.

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Résumé

Soit deux domaines bornés strictement convexes de $R^n$ et une fonction positive définie sur leur produit, ces données étant lisses, trouver une fonction lisse strictement convexe dont le gradient applique un domaine sur l’autre avec déterminant Jacobien proportionnel à la fonction donnée. Nous résolvons ce problème sous la condition (technique) $n=2$.

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