A system of non-linear functional differential equations arising in an equilibrium model of an economy with borrowing constraints

Abstract

We study the existence of solutions to a nonlinear functional differential system that describes the equilibrium of a dynamic stochastic economy with heterogeneous agents facing borowing constraints. Our model is a generalization of the one studied in Scheinkman and Weiss [3] to display the effect of borrowing constraints in aggregate economic activity, and the mathematical techniques that we developp can be useful to deal with more complex models.

The system has aspects of a free boundary value problem in which there are different equations for different domains, with the domains themselves and their boundary determined by the solutions. It also has some of the characteristics of hyperbolic systems that one would obtain by differentiating Hamilton–Jacobi equations. These aspects combine to require, at least apparently, a very specific new approach to the existence problem. One payoff of this technique is that the existence proof is also an algorithm for computation.

Résumé

On étudie l’existence de solutions d’un système différentiel fonctionnel non linéaire décrivant l’équilibre d’une économie stochastique dynamique avec des agents hétérogènes soumis à des contraintes d’endettement. Notre modèle est une généralisation de celui étudié par Scheinkman et Weiss [3] qui mettait en valeur les effets de contraintes d’endettement sur l’activité économique agrégée, et sa résolution introduit des techniques mathématiques utilies pour la résolution de modèles plus complexes.

Le système possède certains aspects d’un problème avec frontière libre pour lequel il y a des équations différentes pour différents domaines, les domaines et leur frontière étant déterminés par les solutions. Il possède également certaines des caractéristiques des systèmes hyperboliques obtenu par différentiation d’équations de Hamilton–Jacobi. La combinaison de ces aspects nécessite une approche spécifique du problème d’existence. L’un des avantages de cette technique est que la preuve d’existence fournit un algorithme de calcul des solutions.