Ljusternik-Schnirelman theory with local Palais-Smale condition and singular dynamical systems

Abstract

We find infintely many T-periodic solutions to a system $\ddot{u}+{\nabla }_{x}V(t,u)=0$ with a singular, T-periodic potential $V$, whose behaviour at infinity is subjected to rather weak assumptions. In order to do so, we adapt the Ljusternik–Schnirelman method to handle a functional possibly unbounded from below and which possibly does not satisfy the Palais–Smale condition at any level.

Résumé

Nous trouvons un nombre infini de solutions T-périodiques d’un système $\ddot{u}+{\nabla }_{x}V(t,u)=0$ pour un potentiel singulier, T-périodique $V$ dont le comportement à l’infini est sujet à des hypothèses très faibles. Pour ce faire, nous adaptons la méthode de Ljusternik–Schnirelman pour traiter une fonctionnelle même non bornée inférieurement et ne satisfaisant pas la condition de Palais–Smale à tout niveau.