Attractors and time averages for random maps

Abstract

Considering random noise in finite dimensional parameterized families of diffeomorphisms of a compact finite dimensional boundaryless manifold $M$, we show the existence of time averages for almost every orbit of each point of $M$, imposing mild conditions on the families; see Section 2.4. Moreover these averages are given by a finite number of physical absolutely continuous stationary probability measures.

We use this result to deduce that situations with infinitely many sinks and Hénon-like attractors are not stable under random perturbations, e.g., Newhouse’s and Colli’s phenomena in the generic unfolding of a quadratic homoclinic tangency by a one-parameter family of diffeomorphisms.

Résumé

On considère un bruit aléatoire dans des familles paramétrées de dimension finie de difféomorphismes d’une variété compacte sans bord, $M$, de dimension finie, et on montre, sous certains conditions pas très fortes sur ces familles, l’existence de moyennes temporelles (assymptotiques) pour presque toute orbite de chaque point de $M$ (voir Section 2.4). Ces moyennes sont données par un nombre fini de mesures de probabilité stationnaires physiques absolument continues.

On utilise ce résultat pour déduire que les situations de coexistence d’une infinité de puists et d’attracteurs de type Hénon ne sont pas stables par des perturbations aléatoires; par exemple, les phénomènes de Newhouse et de Colli dans le dédoublement générique d’une tangence homoclinique quadratique par une famille de difféomorphismes à un paramètre.