Approximate solutions of the incompressible Euler equations with no concentrations

Abstract

We present a sharp local condition for the lack of concentrations in (and hence the $L^2$ convergence of) sequences of approximate solutions to the incompressible Euler equations. We apply this characterization to greatly simplify known existence results for 2D flows in the full plane (with special emphasis on rearrangement invariant regularity spaces), and obtain new existence results of solutions without energy concentrations in any number of spatial dimensions.

Our results identify the ‘critical’ regularity which prevents concentrations, regularity which is quantified in terms of Lebesgue, Lorentz, Orlicz and Morrey spaces. Thus, for example, the strong convergence criterion cast in terms of circulation logarithmic decay rates due to DiPerna and Majda is simplified (removing the weak control of the vorticity at infinity) and extended (to any number of space dimensions).

Our approach relies on using a generalized div-curl lemma (interesting for its own sake) to replace the role that elliptic regularity theory has played previously in this problem.

Résumé

On présente une condition locale optimale qui garanti l’inéxistence de concentrations dans des suites de solutions approchées de l’équation d’Euler incompressible (ce qui prouve leur convergence $L^2$). A l’aide de cette caractérisation on simplifie de façon substantielle les résultats d’existence connus pour les flots 2D dans tout le plan (on insiste tout particulièrement sur les espaces de régularité invariants par réarrangement). On démontre de nouveaux résultats d’existence sans concentrations d’énergie en dimension supérieure.

Notre résultat précise la régularité critique qui empèche l’apparition de concentrations. Cette régularité est quantifiée grâce aux spaces de Lebesgue, Lorentz, Orlicz et Morrey. Ainsi, par exemple, le critère de convergence forte basé dans les termes de circulation logarithmique de corrélations dus à DiPerna et Majda sont simplifiés (en éliminant le contrôle faible de la vorticité à l’infini) et généralisés (en dimension supérieure).

Notre approche est basée sur l’utilisation d’un lemme div-curl généralisé (qui présente un intéret en soi-même) qui remplace le rôle de la régularité elliptique qui était utilisée auparavant.