Dust and self-similarity for the Smoluchowski coagulation equation

Abstract

Smoluchowski coagulation equation for a class of homogeneous coagulation rates of degree $\lambda \in [0,2)$. On the one hand for any initial datum $f_{\mathrm{in}}\in {\dot{L}}_1^1$ we build a weak solution which conserves the mass when $\lambda \le 1$ and loses mass in finite time (gelation phenomenon) when $\lambda >1$. We then extend this existence result to a measure framework allowing dust source term. In that case we prove that the income dust instantaneously aggregates and the solution does not contain dust phase. On the other hand, we investigate the qualitative properties of self-similar solutions to the Smoluchowski's coagulation equation when $\lambda <1$. We prove regularity results and sharp uniform small and large size behaviour for the self-similar profiles.

Résumé

Nous considérons l'équation de Smoluchowski pour une classe de taux homogènes de degré $\lambda \in [0,2)$. D'une part, pour toute donnée initiale $f_{\mathrm{in}}\in {\dot{L}}_1^1$ nous construisons une solution qui conserve la masse lorsque $\lambda \le 1$ et qui perd de la masse en temps fini (phénomène de gélification) lorsque $\lambda >1$. Nous étendons ensuite ce résultat à un contexte mesure qui permet de prendre en compte un terme de source « poussière ». Dans ce cas, nous démontrons que la poussière entrant dans le système s'agglomère instantanément et que la solution ne contient pas de phase poussière. D'autre part, nous étudions les propriétés qualitatives des solutions auto-similaires lorsque $\lambda <1$. Nous démontrons des résultats de régularité et établissons des estimations uniformes sur le comportement du profil auto-similaire pour les petites et les grandes tailles de particules.