Multiple solutions of supercritical elliptic problems in perturbed domains

Abstract

We are concerned with existence and multiplicity of nontrivial solutions for the Dirichlet problem $\mathrm{\Delta }u+|u{|}^{p-2}u=0$ in $\Omega$, $u=0$ on $\partial \Omega$, where $\Omega$ is a bounded domain of ${\mathbb{R}}^n$, $n\ge 3$, and $p>\frac{2n}{n-2}$. We show that suitable perturbations of the domain, which modify its topological properties, give rise to a number of solutions which tends to infinity as the size of the perturbation tends to zero (some examples show that the perturbed domains may be even contractible). More precisely, we prove that for all $k\in \mathbb{N}$, if the size of the perturbation is small enough (depending on $k$), there exist at least $k$ pairs of nontrivial solutions, which concentrate near the perturbation as the size of the perturbation tends to zero. The method we use, which is completely variational, gives also further informations on the qualitative properties of the solutions; in particular, these solutions (which may change sign) do not have more than $k$ nodal regions and at least two solutions (which minimize the corresponding energy functional) have constant sign.

Résumé

Nous étudions l'existence et la multiplicité de solutions pour le problème de Dirichlet $\mathrm{\Delta }u+|u{|}^{p-2}u=0$, $u\not\equiv 0$ en $\Omega$, $u=0$ sur $\partial \Omega$, où $\Omega$ est un ouvert borné de ${\mathbb{R}}^n$, $n\ge 3$, et $p>\frac{2n}{n-2}$. Nous démontrons que l'existence et le nombre de solutions sont liés à certaines perturbations du domaine, qui modifient ses propriétés topologiques. Chaque perturbation dépend d'un paramètre $\varepsilon$ (l'épaisseur de la perturbation) ; quand $\varepsilon \to 0$, le nombre de solutions tend à l'infini et les solutions se concentrent près de la perturbation (des examples montrent que les domaines perturbés peuvent même être contractiles). Plus précisément, nous prouvons que pour tout $k\in \mathbb{N}$ il existe ${\varepsilon }_k>0$ tel que, pour tout $\varepsilon \in ]0,{\varepsilon }_k[$, le problème a au moins $k$ paires de solutions. La méthode que nous suivons, qui est complètement variationnelle, donne aussi des informations sur les propriétés qualitatives des solutions. En particulier, ces solutions (qui peuvent changer de signe) ne peuvent pas avoir plus que $k$ régions nodales ; de plus, au moins deux solutions (qui minimisent la fonctionnelle de l'énergie) ont signe constant.