A few symmetry results for nonlinear elliptic PDE on noncompact manifolds

Abstract

We prove some symmetry theorems for positive solutions of elliptic equations in some noncompact manifolds, which generalize and extend symmetry results known in the case of the euclidean space $R^n$. The (variational) technique that we use relies on Sobolev inequalities available for manifolds together with the well known method of moving planes. In the particular case of the standard $n$-dimensional hyperbolic space $H^n$ we get the radial symmetry of positive solutions of the equation $-\Delta R^{n}u=f\left(u\right)$ in $H^n$, which tend to zero at infinity (or belong to the Sobolev space $H^1\left(H^n\right)$ in some cases), under different hypotheses on the relationship between the behavior of the nonlinearity $f$ in a neighborhood of zero and the summability properties of the solution. One of the main features of this work is to single out and study the connection between the geometric properties of the manifold considered and the growth conditions on the nonlinearity in order to have our symmetry results.

Résumé

Nous démontrons quelques résultats de symétrie pour des solutions positives de certaines équations différentielles partielles sur des variétés – ce sont des généralisations de résultats qui étaient déjà connus dans le cas des espaces euclidien, $R^n$. La technique variationnelle est basée sur des inégalités de Sobolev dans le cadre des variétés, combinées avec une adaptation de la méthode traditionnelle de “moving planes” à notre situation. En particulier, dans le cas de l'espace hyperbolique à $n$ dimensions, $H^n$, nous démontrons la symétrie radiale des solutions positives de $-\Delta u=f(u)$ dans $H^n$, qui tendent vers zéro à l'infini (ou, dans certains cas, appartiennent à l'espace de Sobolev $H^1\left(H^n\right)$).

Un des intérêts majeurs de ce travail réside dans les relations mises en évidence entre certaines caractéristiques de nature géométrique de la variété domaine et les propriétés de nature analytique (taux de croissance) des non linéarités admissibles.