JournalsaihpcVol. 19, No. 3pp. 313–342

A few symmetry results for nonlinear elliptic PDE on noncompact manifolds

  • Yuxin Ge

    Département de Mathématiques, Faculté de Sciences et Technologie, Université Paris XII-Val de Marne, 61, avenue du Général de Gaulle, 94010 Créteil Cedex, France
  • Luıs Almeida

    Laboratoire J.A. Dieudonné – CNRS (UMR 6621), Université de Nice – Sophia-Antipolis, Parc Valrose, F-06108 Nice Cedex 02, France
  • Lucio Damascelli

    Dipartimento di Matematica, Università di Roma “Tor Vergata”, Via della Ricerca Scientifica, 00133 Roma, Italy
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Abstract

We prove some symmetry theorems for positive solutions of elliptic equations in some noncompact manifolds, which generalize and extend symmetry results known in the case of the euclidean space Rnℝ^{n}. The (variational) technique that we use relies on Sobolev inequalities available for manifolds together with the well known method of moving planes. In the particular case of the standard n-dimensional hyperbolic space Hnℍ^{n} we get the radial symmetry of positive solutions of the equation ΔRnu=f(u) - \Delta ℝ^{n}u = f\left(u\right) in Hnℍ^{n}, which tend to zero at infinity (or belong to the Sobolev space H1(Hn)H^{1}\left(ℍ^{n}\right) in some cases), under different hypotheses on the relationship between the behavior of the nonlinearity f in a neighborhood of zero and the summability properties of the solution. One of the main features of this work is to single out and study the connection between the geometric properties of the manifold considered and the growth conditions on the nonlinearity in order to have our symmetry results.

Résumé

Nous démontrons quelques résultats de symétrie pour des solutions positives de certaines équations différentielles partielles sur des variétés – ce sont des généralisations de résultats qui étaient déjà connus dans le cas des espaces euclidien, Rnℝ^{n}. La technique variationnelle est basée sur des inégalités de Sobolev dans le cadre des variétés, combinées avec une adaptation de la méthode traditionnelle de “moving planes” à notre situation. En particulier, dans le cas de l'espace hyperbolique à n dimensions, Hnℍ^{n}, nous démontrons la symétrie radiale des solutions positives de −Δu=f(u) dans Hnℍ^{n}, qui tendent vers zéro à l'infini (ou, dans certains cas, appartiennent à l'espace de Sobolev H1(Hn)H^{1}\left(ℍ^{n}\right)).

Un des intérêts majeurs de ce travail réside dans les relations mises en évidence entre certaines caractéristiques de nature géométrique de la variété domaine et les propriétés de nature analytique (taux de croissance) des non linéarités admissibles.

Cite this article

Yuxin Ge, Luıs Almeida, Lucio Damascelli, A few symmetry results for nonlinear elliptic PDE on noncompact manifolds. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 19 (2002), no. 3, pp. 313–342

DOI 10.1016/S0294-1449(01)00091-9