Abstract

We study the solutions of the equation $-∆u+u(u^2-1)=0$ where $u$ is in $H_{loc}^1(R^n)$. We prove that the map $f\left(x_1,\dots ,x_n\right)=th\left(\frac{x_1}{\sqrt{2}}\right)$ is a minimizing solution in the class of functions which converge to $-1$ when $x_1$ goes to $-\infty$ and to $+1$ when $x_1$ goes to $+\infty$. Furthermore we show that any solution of the equation which converges to $1$ when $|x|$ goes to $+\infty$ is constant equal to $1$ on $R^n$.

Résumé

On étudie les solutions de l’équation $-∆u+u(u^2-1)=0$, où $u$ est élément de $H_{\mathrm{loc}}^1(R^n)$. On montre que la solution $f\left(x_1,\dots ,x_n\right)=th\left(\frac{x_1}{\sqrt{2}}\right)$ minimise l’énergie parmi les fonctions tendant vers $-1$ lorsque $x_1$ tend vers $-\infty$ et vers $+1$ lorsque $x_1$ tend vers $+\infty$. De plus, on prouve que toute solution de l’équation qui tend vers $1$ lorsque $|x|$ tend vers $+\infty$ est constante égale à $1$ sur $R^n$.