A nonlinear oblique derivative boundary value problem for the heat equation: Analogy with the porous medium equation

Abstract

The problem under investigation is the heat equation in the upper half-plane, to which the diffusion in the longitudinal direction has been suppressed, and augmented with a nonlinear oblique derivative condition. This paper proves global existence and qualitative properties to the Cauchy problem for this model, furthering the study [18] of the self-similar solutions. The qualitative behaviour of the solutions exhibits a strong analogy with the porous medium equation: propagation with compact support and finite speed, free boundary relation and time-asymptotic convergence to self-similar solutions.

Résumé

Le problème étudié concerne l'équation de la chaleur dans le demi-plan supérieur, sans diffusion longitudinale, avec une condition à la limite non linéaire. On démontre l'existence globale d'une solution au problème de Cauchy, ainsi que diverses propriétés qualitatives. En particulier, les solutions présentent une forte analogie avec celles de l'équation des milieux poreux, comme : la propagation à vitesse finie, la relation de frontière libre et la convergence en temps grand vers des solutions auto-similaires.