Partial regularity results for minimizers of quasiconvex functionals of higher order

Abstract

We consider minimizers $u\in W^{m,p}\left(\Omega ,R^N\right)$ of uniformly strictly quasiconvex functionals $F\left(u\right)={\int }_{\Omega }f\left(D^{m}u\right)d{\mathcal{L}}^n$ of higher order. Here $\Omega$ is a domain in $R^n$, $m⩾1$, and $f$ is a $C^2$-integrand with growth of order $p$, $p⩾2$. Using the technique of harmonic approximation we give a direct proof of almost everywhere $C^{m,\alpha }$-regularity for such minimizers.

Résumé

Nous étudions des minimiseurs $u\in W^{m,p}\left(\Omega ,R^N\right)$ des fonctionnelles $F\left(u\right)={\int }_{\Omega }f\left(D^{m}u\right)d{\mathcal{L}}^n$ uniformément strictement quasiconvexes du ordre $2m$, $m⩾1$. Ici, $\Omega \subset R^n$ est une domaine et $f$ est une fonction de classe $C^2$ avec une crossance du ordre $p$, $p⩾2$. À l'aide de la technique d'approximation harmonique nous obtenons une preuve directe pour la regularité de classe $C^{m,\alpha }$ pour les minimiseurs dans un ensemble ouvert $\tilde{\Omega }\subset \Omega$ avec ${\mathcal{L}}^n(\Omega \backslash \tilde{\Omega })=0$.