Abstract

For K a compact set of m×n matrices, let L(K) denote the lamination convex hull of K.

We give an example of a compact set K of symmetric two by two matrices such that L(K) is not compact, and similar examples for separate convexity in ${\mathbb{R}}^3$ and bi-convexity in ${\mathbb{R}}^2\times \mathbb{R}$. Furthermore we show that function L̃, where \( \text{L}\limits^{˜}\left(K\right) = \text{L}\left(K\right)\limits^{¯} \), is not upper semi-continuous with respect to Hausdorff metric on the space of all compact sets K of diagonal 3×3 matrices.

Résumé

Si K est un ensemble compact des matrices du type m×n, L(K) signifie le plus petit ensemble lamineusement convexe contenant K. (Un ensemble K est lamineusement convexe si [a,b]⊂K pour tous a,b∈K tels que a−b est une matrice de rang 1.)

Nous démontrons qu’il y a K, un ensemble compact des matrices symétriques d’ordre 2 tel que L(K) ne soit pas compact. Nous présentons aussi des exemples similaires pour convexité séparée dans ${\mathbb{R}}^3$ et bi-convexité dans ${\mathbb{R}}^2\times \mathbb{R}$. En plus, nous démontrons que l’application \( \text{L}\limits^{˜}:K\mapsto \text{L}\left(K\right)\limits^{¯} \) n’est pas semi-continue superieurement sur l’espace des ensembles compacts de matrices diagonales d’ordre 3 muni de la métrique de Hausdorff.