Non-compact lamination convex hulls

Abstract

For K a compact set of $m\times n$ matrices, let $L(K)$ denote the lamination convex hull of $K$.

We give an example of a compact set $K$ of symmetric two by two matrices such that $L(K)$ is not compact, and similar examples for separate convexity in ${\mathbb{R}}^3$ and bi-convexity in ${\mathbb{R}}^2\times \mathbb{R}$. Furthermore we show that function $\tilde{L}$, where $\tilde{L}(K)=\overline{L(K)}$, is not upper semi-continuous with respect to Hausdorff metric on the space of all compact sets $K$ of diagonal $3\times 3$ matrices.

Résumé

Si K est un ensemble compact des matrices du type $m\times n$, $L(K)$) signifie le plus petit ensemble lamineusement convexe contenant $K$. (Un ensemble $K$ est lamineusement convexe si $[a,b]\subset K$ pour tous $a,b\in K$ tels que $a-b$ est une matrice de rang 1.)

Nous démontrons qu’il y a $K$, un ensemble compact des matrices symétriques d’ordre 2 tel que $L(K)$ ne soit pas compact. Nous présentons aussi des exemples similaires pour convexité séparée dans ${\mathbb{R}}^3$ et bi-convexité dans ${\mathbb{R}}^2\times \mathbb{R}$. En plus, nous démontrons que l’application $\tilde{L}:K\mapsto \overline{L(K)}$ n’est pas semi-continue superieurement sur l’espace des ensembles compacts de matrices diagonales d’ordre 3 muni de la métrique de Hausdorff.