Second order nonpersistence of the sine Gordon breather under an exceptional perturbation

Abstract

We consider the only nontrivial perturbation of the sine Gordon equation of the type $u_{tt}-u_{xx}+\sin u=\epsilon \Delta (u)+O({\epsilon }^2)$ under which persistence of the unperturbed breather family cannot be ruled out by first order perturbation theory. We show that in this case, nonpersistence can be proved by second order perturbation theory. A resonant interaction of the second order perturbation function with the first order perturbation of the breathers is responsible for this phenomenon. Number theoretic techniques make the final analysis manageable.

Résumé

On discute de la seule perturbation $u_{tt}-u_{xx}+\sin u=\epsilon \Delta (u)+O({\epsilon }^2)$ non triviale de l’équation sinus-Gordon pour laquelle il est impossible de conclure, sur la base de la seule équation du premier ordre en $\epsilon$, que l’ensemble des solutions « breather » (« respirateur ») ne soit pas conservé. Dans ce cas, on se sert de l’équation du second ordre en e pour démontrer que cet ensemble n’est pas conservé. C’est une résonance du second ordre de la perturbation de l’équation avec le premier ordre de la perturbation des solutions « breather », qui est responsable pour ce phénomène. Pour réussir aux évaluations finales, on utilise des résultats de la théorie des nombres.