Uniqueness of the polar factorisation and projection of a vector-valued mapping

Abstract

This paper proves some results concerning the polar factorisation of an integrable vector-valued function $u$ into the composition $u=u^{\#}\circ s$, where $u^{\#}$ is equal almost everywhere to the gradient of a convex function, and $s$ is a measure-preserving mapping. It is shown that the factorisation is unique (i.e., the measure-preserving mapping $s$ is unique) precisely when $u^{\#}$ is almost injective. Not every integrable function has a polar factorisation; we introduce a class of counterexamples. It is further shown that if $u$ is square integrable, then measure-preserving mappings $s$ which satisfy $u=u^{\#}\circ s$ are exactly those, if any, which are closest to $u$ in the $L^2$-norm.

Résumé

Cet article prouve des résultats au sujet de la factorisation polaire d’une application à valeurs vectorielles sommable $u$ en une composition $u=u^{\#}\circ s$, où $u^{\#}$ est égal presque partout à la dérivée d’une application convexe et $s$ est une application conservant la mesure. On démontre que la factorisation est unique (c’est à dire l’application conservant la mesure $s$ est unique), si et seulement si $u^{\#}$ est presque injectif. Les applications sommables ne possèdent pas toujours les factorisations polaires ; on introduit des contre-examples. On prouve aussi que si $u$ est de carré sommable, alors les applications conservant la mesure qui satisfont $u=u^{\#}\circ s$ sont précisement celles qui sont les plus près de $u$ en $L^2$-norme.