The Cauchy problem for the Schrödinger equation in dimension three with concentrated nonlinearity

Abstract

We consider the Schrödinger equation in ${\mathbb{R}}^3$ with nonlinearity concentrated in a finite set of points. We formulate the problem in the space of finite energy $V$, which is strictly larger than the standard $H^1$-space due to the specific singularity exhibited by the solutions. We prove local existence and, for a repulsive or weakly attractive nonlinearity, also global existence of the solutions.

Résumé

On considère l’équation de Schrödinger avec une nonlinéarité concentrée en un nombre fini de points. On formule le problème dans l’espace $V$ d’énergie finie, qui contient strictement l’espace standard $H^1$, à cause de la singularité spécifique des solutions. On prouve des résultats d’existence locale et même, pour une nonlinéarité répulsive ou faiblement attractive, l’existence globale des solutions.