Normal form and global solutions for the Klein-Gordon-Zakharov equations

Abstract

In this paper we study the global existence and asymptotic behavior of solutions for the Cauchy problem of the Klein–Gordon–Zakharov equations in three space dimensions. We prove that for small initial data, there exist the unique global solutions of the Klein–Gordon–Zakharov equations. We also show that these solutions approach asymptotically the free solutions as $t\to \infty$. Our proof is based on the method of normal forms introduced by Shatah [12], which transforms the original system with quadratic nonlinearity into a new system with cubic nonlinearity.

Résumé

Dans cet article, nous étudions l’existence globale et le comportement asymptotique de solutions pour le problème de Cauchy des équations de Klein–Gordon–Zakharov en trois dimensions. Nous montrons que pour des petites données initiales, il existe les solutions globales uniques des équations de Klein–Gordon–Zakharov. Nous montrons aussi que ces solutions approchent des solutions libres asymptotiquement lorsque $t\to \infty$. Notre preuve est basée sur la méthode de formes normales introduite par Shatah [12], qui transforme le système original avec non-linéarité quadratique en un système neuf avec non-linéarité cubique.