Asymptotic behaviour of solutions to the Korteweg-deVries-Burgers system

Abstract

We consider the large time behaviour of solutions ot the Korteweg-deVries–Burgers system of equations to obtain lower and upper bounds for the rates of decay of the solution. These decay rates extend the work of Amick et al. [1], where the scalar case was considered and that of Zhang Linghai [8]. An important tool in the analysis is the so called Fourier Splitting method developed by M. E. Schonbek for obtaining algebraic upper bounds for the solution to the system of parabolic conservation laws. This tool was later used to establish algebraic upper and lower bounds for the Navier Stokes and Magneto Hydrodynamic equations. The lower bounds show that in the far field the behaviour of the solutions to the KdVB system and those of the heat system are very different. This behaviour is believed to be due to the nonlinearity and not to the dispersive nature of the equation, since such behaviour is also present in non-dispersive systems like the Navier-Stokes and the Magneto-Hydrodynamic equations.

Résumé

Dans ce travail nous obtenons des bornes supérieures et inférieures pour le taux de décroissance des solutions du système de Korteweg-deVries–Burger. Ce travail prolonge celui de Amick et al. [1] dans lequel le cas scalaire est considéré, ainsi que le travail de Zhang Linghai. La technique qui est fondamentale pour les résultats que nous obtenons est le « Fourier splitting ». Cette méthode a été développée par M. E. Schonbek pour obtenir des bornes supérieures algébriques pour un système de lois paraboliques de conservation. Elle a été utilisée ensuite pour établir les bornes algébriques supérieures et inférieures pour les solutions des équations de Navier–Stokes et de Magnéto-Hydrodynamique. La borne inférieure montre que pour t tendant vers l’infini, le comportement des solutions pour les systèmes de Korteweg-deVries–Burger et le comportement des solutions de l’équation de la chaleur sont différents: ce comportement proviendrait des termes non linéaires et non de la nature dispersive du système car il est aussi présent dans des systèmes non dispersifs comme les équations de Navier–Stokes et les équations de Magnéto-Hydrodynamique.