Quasilinear hyperbolic equations with hysteresis

Abstract

Plasticity, ferromagnetism, ferroelectricity and other phenomena lead to quasi-linear hyperbolic equations of the form

where is a (possibly discontinuous) hysteresis operator, and $A$ is a second order elliptic operator. Existence of a solution is proved for an associated initial- and boundary-value problem in the framework of Sobolev spaces. The argument is based on the dissipation properties of hysteresis, and can be applied to a large class of hysteresis operators, including the classic Preisach model.

Résumé

Plusieurs phénomènes (plasticité, ferro-magnétisme, ferro-électricité, etc.) conduisent à la formulation d'une équation hyperbolique quasilinéaire de la forme

ici $F$ est un opérateur d'hystérésis éventuellement discontinu, et $A$ est un opérateur elliptique du deuxième ordre. On démontre l'existence d'une solution faible pour un problème aux limites et aux valeurs initiales associé à cette équation. L'argument est basé sur les propriétés de dissipation de l'hystérésis, et s'applique à une large classe d'opérateurs, qui inclut le modèle classique de Preisach.