Periodic solutions for singular Hamiltonian systems and closed geodesics on non-compact Riemannian manifolds

Abstract

We study the existence of periodic solutions of singular Hamiltonian systems as well as closed geodesics on non-compact Riemannian manifolds via variational methods.

For Hamiltonian systems, we show the existence of a periodic solution of prescribed-energy problem:

under the conditions: (i) $V(q)<0$ for all $q\in {\mathbb{R}}^N\backslash \left\{0\right\}$; (ii) $V(q)\sim -1/|q{|}^2$ as $|q|\sim 0$ and $|q|\sim \infty$.

For closed geodesics, we show the existence of a non-constant closed geodesic on $\left(\mathbb{R}\times S^{N-1},g\right)$ under the condition:

where $h_0$ is the standard metric on $S^{N-1}$.

Résumé

Nous étudions l’existence de solutions p’eriodiques pour des systèmes Hamiltoniens singuliers, et de géodésiques fermées sur des variétes Riemanniennes non-compactes par des méthodes variationnelles.

Pour les systèmes Hamiltoniens, nouns montrons l’existence d’une solution périodique pour un probl‘eme à énergie prescrite:

sous les conditions: (i) $V(q)<0$ pour tout $q\in {\mathbb{R}}^N\backslash \left\{0\right\}$; (ii) $V(q)\sim -1/|q{|}^2$ quand $|q|\sim 0$ et $|q|\sim \infty$.

Pour les géodésiques fermées, nouns montrons l’existence d’une géodésique fermée non-constante sur $\left(\mathbb{R}\times S^{N-1},g\right)$ sous la condition:

où $h_0$ est la métrique standard sur $S^{N-1}$.