Sign-changing solutions of competition–diffusion elliptic systems and optimal partition problems

Abstract

In this paper we prove the existence of infinitely many sign-changing solutions for the system of $m$ Schrödinger equations with competition interactions

where $\Omega$ is a bounded domain, $\beta >0$ and $a_i⩾0$ $\forall i$. Moreover, for $a_i=0$, we show a relation between critical energies associated with this system and the optimal partition problem

where ${\lambda }_{k_i}(\omega )$ denotes the $k_i$-th eigenvalue of $-\Delta$ in $H_0^1(\omega )$. In the case $k_i⩽2$ we show that the optimal partition problem appears as a limiting critical value, as the competition parameter $\beta$ diverges to $+\infty$.

Résumé

Dans cet article nous montrons lʼexistence dʼune infinité de solutions qui changent de signe pour le système dʼéquations de Schrödinger avec des interactions compétitives

où $\Omega$ est un domaine borné, $\beta >0$ et $a_i⩾0$ $\forall i$. De plus, quand $a_i=0$, nous démontrons une relation entre les énergies critiques associées à ce système et le problème de partition optimale

${\lambda }_{k_i}(\omega )$ indiques la $k_i$-ème valeur propre de lʼopérateur $-\Delta$ in $H_0^1(\omega )$. Dans le cas $k_i⩽2$, nous montrons que le problème de partition optimale apparaît comme une valeur limite critique, en tant que paramètre de compétition $\beta$ diverge vers $+\infty$.